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ベルンシュタインの定理・証明概略図

日付: 9月 23, 2018

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　まずは次のような関数を考えてみましょう． \[ F(z)=z\quad (\abs z<1) \] 定義域に注意して下さい．この関数は $ \abs z<1 $ でしか定義されていません．この関数を実数全体に拡張したい場合どうすればよいでしょうか？　この場合は単に定義域を $ \abs z<1 $ から $ z\in\rea $ に書き換えればいいだけで，何も難しいことはないように感じるかもしれません．そうして実数全体に拡張された $ \tilde F(z) $ は \[ \tilde F(z)=z\quad (z\in\rea) \] と書くことができます．この $ \tilde F(z) $ が，一部でしか定義されていなかった $ F(z) $ という関数の「本体」ということになります．　以上の話は，単に定義域を書き換えるというだけの話であり，関数の拡張に関する議論の重要性をあまり感じるものにはなっていません．　では次の関数ではどうでしょうか？ \[ G(z)=z(1-z)(1+z+z^2+z^3+\cdots ) \] この関数は式中に現れる等比級数の収束を保証するために $ \abs z<1 $ でしか定義されていないものです．それ以外の範囲では \[ 1+z+z^2+z^3+\cdots \] が発散してしまい，意味をなさなくなってしまいます．しかし $ \abs z<1 $ の範囲で $ G(z) $ は次のように等比級数計算されます： \[ G(z)=z(1-z)(1+z+z^2+\cdots )=z(1-z)\frac{1}{1-z}=z \] つまり， $ \abs z<1 $ の範囲において $ G(z) $ と $ F(z)=z\; (\abs z<1) $ は全く同じ関数を表すことになります．それならば $ G(z) $ も $ F(z) $ と同じように \[ \tilde G(z)=z\quad (z\in\rea) \] というように実数全体に拡張できるはずです．　この $ \tilde G(z) $ が一部でしか定義されていなかった $ G(z) $ という関数の「本体」ということになります．ただしここで重要なことは， $ G(z) $ は最初の表示式のまま，

ベクトル束とは何かを考える

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