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環の道

日付: 6月 03, 2020

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　まずは次のような関数を考えてみましょう． \[ F(z)=z\quad (\abs z 　以上の話は，単に定義域を書き換えるというだけの話であり，関数の拡張に関する議論の重要性をあまり感じるものにはなっていません．　では次の関数ではどうでしょうか？ \[ G(z)=z(1-z)(1+z+z^2+z^3+\cdots ) \] この関数は式中に現れる等比級数の収束を保証するために $ \abs z 　この $ \tilde G(z) $ が一部でしか定義されていなかった $ G(z) $ という関数の「本体」ということになります．ただしここで重要なことは， $ G(z) $ は最初の表示式のまま，実数全体に拡張することはできないということです．例えば拡張された $ \tilde G(z) $ において $ \tilde G(2)=2 $ ですが，もともとの $ G(z) $ の表示式に従えば， \[ G(2)=2\times (-1)\times (1+2+2^2+2^3+\cdots )=2 \] をあらわすことになってしまいます．これはわけのわからない式です．つまり $ z(1-z)(1+z+z^2+\cdots ) $ という表示式は「本体の関数」を明示するのに十分な力を持っていないということになります．言い換えれば，本体の一部の情報しか持っていない表示式です．それでも形式的には， \[ \begin{align} 2\times (-1)\times (1+2+2^2+2^3+\cdots )&=2\\ 1+2+4+8+16+\cdots &=-1 \end{align} \] を導くことはできます．　これと同様の話は他の関数，例えばゼータ関数にも当てはまります．ゼータ関数 $ \zeta (s) $ は \[ \zeta(s)=\sum\thr n=1^\infty\frac{1}{n\ef s} \] という級数による表示式をもつ関数です．しかしこの表示式はゼータ関数本体の一部の情報しか持っていません．この式の右辺は $ \Re (s)>1 $ でしか収束しないため，それ以外の場所では意味をなさなくなってしまいます．　しかし，さきほどの $ G(z)=z(1-z)(1+z+z^2+\cdots)...

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